Question

已知函数f （x）=-x²-x⁴-x⁶，x₁，x₂，x₃∈R且x₁+x₂＜0，x₂+x₃＜0，x₃+x₁＜0，则f′（x₁）+f′（x₂）+f′（x₃）的值是（f′（x）是f （x）的导数）

1. A.
   一定小于零
2. B.
   等于零
3. C.
   一定大于零
4. D.
   正负均有可能

Answer 1

C
分析：利用求导法则求出函数f（x）的导函数f′（x），可得导函数为减函数，且为奇函数，设出x₁＜x₂＜x₃，由已知的x₁+x₂＜0，x₂+x₃＜0，x₃+x₁＜0可得x₁，x₂都为负数，x₃正负不确定，故讨论：当x₃小于等于0时，根据导函数为减函数且为奇函数可得f′（x₃）大于等于0，同时可得f′（x₁）＞f′（x₂）＞f′（x₃），即可得到f′（x₁）+f′（x₂）+f′（x₃）的值大于0；当x₃大于0时，-x₃小于0，可得f′（-x₃）大于0，同时可得f′（x₁）＞f′（-x₃），f′（x₂）＞f′（-x₃），根据不等式的性质及奇函数的性质可得f′（x₁）+f′（x₂）+f′（x₃）的值大于0，综上，f′（x₁）+f′（x₂）+f′（x₃）的值大于0．
解答：求导得：f′（x）=-2x-4x³-6x⁵，
可得f′（x）在R上是减函数，且为奇函数，
不妨设x₁＜x₂＜x₃，
由x₁+x₂＜0，x₂+x₃＜0，x₃+x₁＜0可得：x₁＜0，x₂＜0，
若x₃≤0，可得f′（x₃）≥f′（0）=0，即f′（x₁）＞f′（x₂）＞f′（x₃）≥0，
则有f′（x₁）+f′（x₂）+f′（x₃）＞0；
若x₃＞0，-x₃＜0，则有f′（-x₃）＞f′（0）=0，
且f′（x₁）＞f′（-x₃），f′（x₂）＞f′（-x₃），
∴f′（x₁）+f′（x₂）＞2f′（-x₃），
即f′（x₁）＞f′（x₂）＞f′（x₃）＞f′（-x₃）＞0，
综上，f′（x₁）+f′（x₂）+f′（x₃）＞0．
故选C
点评：此题考查了导数的运算，奇函数的性质，以及函数增减性的运用，利用了转化及分类讨论的思想，是高考中常考的题型．