已知各项均为正数的两个无穷数列、
满足
.
(Ⅰ)当数列是常数列(各项都相等的数列),且
时,求数列
的通项公式;
(Ⅱ)设、
都是公差不为0的等差数列,求证:数列
有无穷多个,而数列
惟一确定;
(Ⅲ)设,
,求证:
.
(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)详见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)由是常数列,得
,进而探求数列项间的关系;(Ⅱ)将等差数列
、
的通项公式代入
,根据等式恒成立,求首项和公差;(Ⅲ)利用题中所给关系式对
进行适当放缩,求出上界和下界.
试题解析:
(Ⅰ)因为数列是常数列,且
,所以
①,因此
②,①-②得,
,这说明数列
的序号为奇数的项及序号为偶数的项均按原顺序组成公差为2的等差数列,又
,
,所以
,因此
,
,即
.
(Ⅱ)设、
都是公差分别为
,将其通项公式代入
得
,因为它是恒等式,所以
,解得
,因此
.
由于可以取无穷多非零的实数,故数列
有无穷多个,而数列
惟一确定;
(Ⅲ)因为,且
,所以
,即
,所以
,得
,因此
.
又由得,
,而
,所以
,因此
,所以
,所以
.
考点:等差数列、数列的递推关系、数列与不等式.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)证明:对一切正整数n,有+
+…+
<
.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知正项数列的首项
,前
项和
满足
.
(Ⅰ)求证:为等差数列,并求数列
的通项公式;
(Ⅱ)记数列的前
项和为
,若对任意的
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
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