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已知函数y=f(x)的定义域为(0,+∞)且满足f(xy)=f(x)+f(y),且0<x<1时,f(x)>0.
(1)求f(1);
(2)证明:f(x)在定义域上是减函数;
(3)若f(2)=1,求满足f(x)≤2-f(x-3)的x的范围.
考点:抽象函数及其应用
专题:函数的性质及应用
分析:(1)令x=y=1代入式子f(xy)=f(x)+f(y),可得f(1)=0;
(2)任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,根据f(xy)=f(x)+f(y)得,f(x1)-f(x2)=f(
x1
x2
),由条件和函数单调性的定义,f(x)在定义域上是减函数;
(3)由f(2)=1求出f(4)=2,根据(2)的结论和等式,将不等式f(x)≤2-f(x-3)转化成一个关于x的一元二次不等式,注意定义域,解不等式即可得到答案.
解答: 解:(1)由题意,令x=y=1,代入f(xy)=f(x)+f(y);
可得f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0;
证明:(2)由f(xy)=f(x)+f(y)得,f(xy)-f(x)=f(y),
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2
令x=x2,y=
x1
x2
代入上式得,f(x1)-f(x2)=f(
x1
x2
),
因为0<x<1时,f(x)>0,且0<
x1
x2
<1

所以f(x1)-f(x2)=f(
x1
x2
)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在定义域(0,+∞)上是减函数;
解:(3)令x=y=2,结合f(2)=1可得:
f(4)=f(2)+f(2)=2,
则f(x)≤2-f(x-3)化为f(x)+f(x-3)≤f(4),即f[x(x-3)]≤f(4),
因为f(x)在定义域(0,+∞)上是减函数,
所以
x(x-3)>0
x(x-3)≥4
,解得x≥4或x≤-1,
故x的范围是{x|x≥4或x≤-1}.
点评:本题考查的知识点是抽象及其应用,函数的单调性的判断与证明,利用赋值法函数的值,其中抽象函数中“凑”的思想是解答此类问题的关键,注意函数的定义域.
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.(用列举法表示)

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a
|

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