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已知椭圆上的点到椭圆右焦点的最大距离为,离心率,直线过点与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)上是否存在点,使得当转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有点的坐标与的方程;若不存在,说明理由.
(1);(2)

试题分析:(1)设,椭圆上的点到椭圆右焦点的最大距离为,离心率,可得求得a和b;(2)由(1)可得椭圆的方程,设A(x1,y1)、B(x2,y2),(ⅰ) 当垂直于轴时,由知,C上不存在点P使成立;(ⅱ)当l不垂直x轴时,设l的方程为y=k(x-1),代入椭圆的方程中整理得方程△>0.由韦达定理可求得的表达式,假设存在点P,使成立,则其充要条件为:点P的坐标为(x1+x2,y1+y2),代入椭圆方程;把A,B两点代入椭圆方程,最后联立方程求得c,进而求得P点坐标,因为在椭圆上,
代入椭圆方程,得,即可求出k的值和P的坐标以及l的方程.
解:(1)由条件知,解得
所以,故椭圆方程为
(2)C上存在点,使得当转到某一位置时,有成立.
由(Ⅰ)知C的方程为+=6.设
(ⅰ)当垂直于轴时,由知,C上不存在点P使成立.
(ⅱ)

    
于是 , =,
C 上的点P使成立的充要条件是
,则
所以 .因为在椭圆上,
代入椭圆方程,得:,所以
时,
时,
综上,C上存在点使成立,
此时的方程为.     
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