Question

7．已知函数f（3^x-2）=x-1（x∈[0，2]），函数g（x）=f（x-2）+3．
（1）求函数y=f（x）与y=g（x）的解析式；
（2）设h（x）=[g（x）]²+g（x²），试求函数y=h（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）可令3^x-2=t，从而可解出x=log₃（t+2），从而可以得到f（x）=log₃（x+2）-1，并且x∈[-1，7]，这样便可求出f（x-2），进一步便可得到g（x）=log₃x+2，其中x∈[1，9]；
（2）由g（x）的解析式便可求出g（x²），[g（x）]²，从而便可得到h（x）=$（lo{g}_{3}x+3）^{2}-3$，根据x的范围可以求出log₃x的范围，根据log₃x的范围即可求出h（x）的最小值和最大值．

解答 解：（1）令3^x-2=t，∴x=log₃（t+2）；
∵x∈[0，2]；
∴3^x-2∈[-1，7]；
即t∈[-1，7]；
∴f（t）=log₃（t+2）-1；
∴f（x）=log₃（x+2）-1，x∈[-1，7]；
∴f（x-2）=log₃x-1；
∴g（x）=log₃x+2，x∈[1，9]；
（2）[g（x）]²=log²₃x+4log₃x+4，$g（{x}^{2}）=lo{g}_{3}{x}^{2}+2=2lo{g}_{3}x+2$；
∵x∈[1，9]，∴解1≤x²≤9得1≤x≤3；
∴h（x）=log²₃x+6log₃x+6=$（lo{g}_{3}x+3）^{2}-3$；
∵1≤x≤3；
∴0≤log₃x≤1；
∴log₃x=0时，h（x）取最小值6，log₃x=1时，h（x）取最大值13．

点评 考查换元法求函数的解析式，换元后要确定新变量的范围，对数的运算，在由f（x）求f[g（x）]时，要会求函数f[g（x）]的定义域，配方求二次式子最值的方法，以及对数函数的单调性．