Question

【题目】在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

作物产量（kg）	300	500
概率	0.5	0.5

作物市场价格（元/kg）	6	10
概率	0.4	0.6

（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，

则P（A）=0.5，P（B）=0.4，

∵利润=产量×市场价格﹣成本，

∴X的所有值为：

500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，

300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，

则P（X=4000）=P（ ）P（ ）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，

P（X=2000）=P（ ）P（B）+P（A）P（ ）=（1﹣0.5）×0.4+0.5（1﹣0.4）=0.5，

P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，

则X的分布列为：

X	4000	2000	800
P	0.3	0.5	0.2

（2）解：设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），

则C1，C2，C3相互独立，

由（1）知，P（Ci）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），

3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，

3季的利润有2季不少于2000的概率为P（ C2C3）+P（C1 C3）+P（C1C2 ）=3×0.82×0.2=0.384，

综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896．

【解析】（1）分别求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论．
【考点精析】利用离散型随机变量及其分布列对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．