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在直角坐标平面上有一点列Pn(xn,yn)(n∈N*),点Pn位于直线y=3x+上,且Pn的横坐标构成以为首项,-1为公差的等差数列{xn}.

(1)求点Pn的坐标;

(2)设抛物线列C1,C2,…,Cn,…中的每一条的对称轴都垂直于x轴,第n条抛物线Cn的顶点为Pn,且经过点Dn(0,n2+1)(n∈N*).记与抛物线Cn相切于点Dn的直线的斜率为kn,求证:++…+;

(3)设S={x|x=2xn,n∈N*},T={y|y=4yn,n∈N*},等差数列{an}的任意一项an∈S∩T,其中a1是S∩T中的最大数,且-256<a10<-125,求数列{an}的通项公式.

解:(1)xn=+(n-1)×(-1)=-n=,

∴yn=3·xn+=-3n=.

∴Pn(,).

(2)证明:∵Cn的对称轴垂直于x轴,且顶点为Pn,

设Cn的方程为y=a(x+)2.

把Dn(0,n2+1)代入上式,得a=1.

∴Cn的方程为y=x2+(2n+3)x+n2+1.

∴kn=y′|x=0=2n+3.

==().

++…+=[()+()+…+()]

=()=.

(3)S={x|x=-(2n+3),n∈N*},

T={y|y=-(12n+5),n∈N*}={y|y=-2(6n+5)-3,n∈N*},

∴S∩T=T,T中的最大数a1=-17.

设{an}的公差为d,则a10=-17+9d∈(-265,-125),由此得<d<-12.

又∵an∈T,∴d=-12m(m∈N*).

∴d=-24.∴an=7-24n(n∈N*).

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⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴,第条抛物线的顶点为,且过点,记与数列相切于的直线的斜率为,求:

⑶设,等差数列的任一项,其中中的最大数,,求的通项公式。

 

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