Question

（2010•潍坊三模）已知函数f（x）=

a

2

x2+2x（a∈R），g（x）=lnx．
（1）若函数h（x）=g（x）-f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）当a=l时，证明：x=1是函数y=f'（x）-

g(x)

x

-2的唯一极值点．

Answer 1

分析：（1）先求函数h（x）的导函数h′（x），再将函数存在单调递减区间问题转化为导函数h′（x）＜0在（0，+∞）上有解问题，最后参变分离将此问题转化为求函数最值问题即可得a的取值范围
（2）先求出函数y=f'（x）-

g(x)

x

-2的解析式，即y=x-

lnx

x

，求其导函数y′，证明x=1是函数y′=

x2+lnx-1

x2

的零点，再由单调性证明y′=0有唯一根x=1，最后由函数y=f'（x）-

g(x)

x

-2的单调性，证明x=1是函数y=f'（x）-

g(x)

x

-2的极值点，从而证明x=1是函数y=f'（x）-

g(x)

x

-2的唯一极值点

解答：解：（1）h（x）=lnx-

a

2

x2-2x  （x＞0），则h′（x）=

1

x

-ax-2
若函数h（x）=g（x）-f（x）存在单调递减区间，则h′（x）=

1

x

-ax-2＜0在（0，+∞）上有解
而当x＞0时，

1

x

-ax-2＜0?ax＞

1

x

-2?a＞

1

x2

-

2

x

问题转化为a＞

1

x2

-

2

x

在（0，+∞）上有解
∵

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2-1≥-1，即

1

x2

-

2

x

在（0，+∞）上的值域为[-1，+∞）
∴a＞-1
（2）当a=1时，f（x）=

1

2

x²+2x，∴y=x-

lnx

x

，
函数y′=1-

1-lnx

x2

=

x2+lnx-1

x2

∵x=1时，y′=0，∴x=1是函数y′的零点
令M（x）=x²+lnx-1，则x=1是M（x）=0的根
下面证明M（x）=0无其它根
M′（x）=2x+

1

x

，当x＞0时，M′（x）＞0，即y=M（x）在（0，+∞）上是单调增函数
∴M（x）=0有唯一根x=1
下面证明x=1是函数y=f'（x）-

g(x)

x

-2的极值点
当x∈（0，1）时，y′=

M(x)

x2

＜0，
∴y=f'（x）-

g(x)

x

-2在（0，1）上是减函数
x∈（1，+∞）时，y′=

M(x)

x2

＞0，
∴y=f'（x）-

g(x)

x

-2在（0，1）上是增函数
∴x=1是函数y=f'（x）-

g(x)

x

-2的极值点．
综上所述，x=1是函数y=f'（x）-

g(x)

x

-2的唯一极值点

点评：本题考查了导数在函数单调性和极值问题中的应用，将函数性质与不等式的根的分布、零点存在性及唯一性互相转化的能力，推理证明的能力