Question

已知函数f（x）=ax²-2x+lnx，a为常数，且a∈R．
（1）当a=2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在定义域上有两个不同的极值点，求常数a的取值范围，并求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）a=2时求f（x）的导数，得出f（x）在（1，f（1））处的切线斜率，写出切线方程；
（2）先求出f′（x），令f′（x）=0，在定义域上有两个不同的解，得出a的取值范围，再利用导数判定f（x）的单调区间．

解答：解：（1）∵a=2时，f（x）=2x²-2x+lnx，
∴f′（x）=4x-2+

1

x

，
∴f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=3，
又f（1）=0，
∴切线方程为y-0=3（x-1），
即3x-y-3=0；
（2）∵f（x）=ax²-2x+lnx，定义域是（0，+∞），
∴f′（x）=2ax-2+

1

x

=

2ax2-2x+1

x

；
∵f（x）在（0，+∞）上有两个不同的极值点，
即2ax²-2x+1=0在（0，+∞）上有两个不同的实数根，
∴

a≠0 4-8a＞0 - -2 2a ＞0 1 2a ＞0

，解得0＜a＜

1

2

；
∴a的取值范围是{a|0＜a＜

1

2

}；
又∵f′（x）=

2ax2-2x+1

x

；
令f′（x）=0，得2ax²-2x+1=0；
∵0＜a＜

1

2

，
∴解得x₁=

1- 1-2a

2a

，x₂=

1+ 1-2a

2a

；
∴当0＜x＜

1- 1-2a

2a

时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
当

1- 1-2a

2a

＜x＜

1+ 1-2a

2a

时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
当x＞

1+ 1-2a

2a

时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
∴f（x）的增区间是（0，

1- 1-2a

2a

），（

1+ 1-2a

2a

，+∞）；减区间（

1- 1-2a

2a

，

1+ 1-2a

2a

）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的切线方程以及函数的单调性与极值情况，是中档偏难的题．