Question

函数y=

3-4x+x2

的定义域为M，函数f（x）=4^x-2×2^x（x∈M）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）当x∈M时，关于x的方程4^x-2×2^x=b（b∈R）有两不等实数根，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据偶次根号下要大于等于0，列出关于x的不等式，求出定义域M，再利用换元法，将f（x）=4^x-2×2^x（x∈M）转化为二次函数求值域，即可求得答案；
（2）当x∈M时，关于x的方程4^x-2×2^x=b（b∈R）有两不等实数根，y=f（x）与y=b有两个不同的交点，利用（1）的结论，画出图象，即可求得b的取值范围．

解答：解：（1）根据题意，可得3-4x+x²≥0，即x²-4x+3≥0，
∴x≤1或x≥3，
∴M={x|x≤1或x≥3}，
∵f（x）=4^x-2×2^x（x∈M），
令t=2^x，由x≤1或x≥3，则0＜t≤2或t≥8，
∴f（t）=t²-2t=（t-1）²-1，t∈（0，2]∪[8，+∞），
∴f（t）∈[-1，0]∪[48，+∞），
故函数f（x）的值域为[-1，0]∪[48，+∞）；
（2）∵当x∈M时，关于x的方程4^x-2×2^x=b（b∈R）有两不等实数根，
∴y=f（x）（x∈M）与y=b有两个不同的交点，
画出图象如图所示，根据图象可得，-1＜b＜0，
故实数b的取值范围为（-1，0）．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，函数的定义域及其求法，函数的值域及其求法，同时考查了根的存在性以及根的个数的判断．对于根的个数的问题，一般选用数形结合的数学思想方法进行解决．求函数值域时使用了换元法，要特别注意换元以后新变量的取值范围．属于中档题．