Question

【题目】设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线，周长是.回答下面的问题：

（1）当封闭曲线为平行四边形时，用直径为的圆形纸片是否能完全覆盖这个平行四边形？请说明理由.

（2）求证：当封闭曲线是四边形时，正方形的面积最大.

Answer 1

【答案】（1）能，见解析；（2）见解析

【解析】

（1）设平行四边形的两邻边长分别为，两对角线长分别为，则有，由三角形的三边关系可得，，即可得证.

（2）由三角形的面积公式可得，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，即可得到，同理，即再利用基本不等式可得证.

（1）解：能.理由如下：

设平行四边形的两邻边长分别为，两对角线长分别为，则有.由三角形两边之和大于第三边可知.又圆的直径为，故圆形纸片能完全覆盖这个平行四边形.

（2）证明：如图，任意四边形的各边长分别为.

由图可知，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，

.同理.

当且仅当时取等号；

又

.

当且仅当时取等号；

，当且仅当四边形是正方形时取等号；

故当封闭曲线是四边形时，正方形的面积最大.