Question

在平面直角坐标系中，已知点E（-1，0）和F（1，0），圆E是以E为圆心，半径为2

2

的圆，点P是圆E上任意一点，线段FP的垂直平分线l和半径EP所在的直线交于点Q．
（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程T；
（Ⅱ）已知M，N是曲线T上的两点，若曲线T上存在点P，满足

OM

+

ON

=λ

OP

（O为坐标原点），求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）连结QF，由已知条件推导出|QP|=|QF|，从而得到|QE|+|QF|=PE=2

2

，由此推导出点Q的轨迹方程T是以E（-1，0）和F（1，0）为焦点的椭圆，进而能求出点Q的轨迹方程T．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，把y=kx+m代入椭圆

x2

2

+y2=1，得（1+2k²）x²+4kx+2m²-2=0，分m=0和m≠0两种情况进行讨论，能求出实数λ的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）如图，连结QF，
∵点E（-1，0）和F（1，0），
圆E是以E为圆心，半径为2

2

的圆，点P是圆E上任意一点，
线段FP的垂直平分线l和半径EP所在的直线交于点Q，
∴|QP|=|QF|，∴|QE|+|QF|=PE=2

2

，
∴点Q的轨迹方程T是以E（-1，0）和F（1，0）为焦点的椭圆，
且2a=2

2

，a=

2

，c=1，∴b=1，
∴点Q的轨迹方程T：

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）设经过点M、N的直线为l，由题意和l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx+m，
把y=kx+m代入椭圆

x2

2

+y2=1，
整理，得（1+2k²）x²+4kx+2m²-2=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
则x1+x2=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-2

1+2k2

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

2m

1+2k2

，
①当m=0时，点M，N关于原点对称，则λ=0；
②当m≠0时，点M，N不关于原点对称，则λ≠0，
∵

OM

+

ON

=λ

OP

，
∴x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂=λy₀，
∴x0=

x1+x2

λ

=-

4km

λ(1+2k2)

，y₀=

y1+y2

λ

=

2m

λ(1+2k2)

，
∵点P在

x2

2

+y2=1上，
∴[-

4km

λ(1+2k2)

]²+2[

2m

λ(1+2k2)

]²=2，
化简，得4m²（1+2k²）=λ²（1+k²）²，
∵1+2k²≠0，∴4m²=λ²（1+2k²），①
又∵△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）
=8（1+2k²-m²）＞0，
∴1+2k²＞m²，②
联立①②及m≠0，得λ²＜4，∴-2＜λ＜2，且λ≠0．
综上所述，实数λ的取值范围是（-2，2）．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握椭圆的简单性质，注意分类讨论思想的合理运用．