Question

已知函数f(x)=

3

sinxcosx+

1

2

cos2x+1．
（Ⅰ） 求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据倍角公式化简可得解析式f（x）=sin(2x+

π

6

)+1，从而根据周期公式可求解．
（Ⅱ）由已知可得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，从而根据正弦函数的图象和性质可求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x值．

解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为 f(x)=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+1…（4分）
=sin(2x+

π

6

)+1…（6分）
所以T=

2π

2

=π．…（7分）
（Ⅱ）因为f(x)=sin(2x+

π

6

)+1，0≤x≤

π

2

，
所以

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

．…（9分）
所以当2x+

π

6

=

π

2

即x=

π

6

时，
函数f（x）的最大值是2．…（13分）

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．