Question

函数f（x）=ax³+x+1有极值的一个充分而不必要条件是

1. A.
   a＜0
2. B.
   a＞0
3. C.
   a＜-1
4. D.
   a＜1

Answer 1

C
分析：先求函数f（x）=ax³+x+1有极值的充要条件，也就是函数有极值可以推出的条件，而该条件也能推出函数有极值，而函数的充分不必要条件就是充要条件的子集，再判断那个选项符合即可．
解答：函数f（x）=ax³+x+1的导数为f′（x）=2ax²+1
若函数f（x）=ax³+x+1有极值，则f′（x）=0有解，即2ax²+1=0有解．
∴a＜0
而当a＜0时，f′（x）=0有解，函数f（x）=ax³+x+1有极值，
∴a＜0是函数f（x）=ax³+x+1有极值的充要条件，函数f（x）=ax³+x+1有极值的充分不必要条件应该是（0，+∞）的一个子集
从选项判断，C选项符合条件
故选C
点评：本题主要考查了函数的导数与极值的关系，函数的极值点处导数等于0．