Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3：
（1）若函数y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；
（2）设函数g（x）=x+b，当a=3时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[5，8]，使得g（x1）=f（x2），求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的图象对称轴为x=2，开口向上，

∴f（x）在[﹣1，1]上单调递减，

△=16﹣4（a+3）=﹣4a+4，

若函数y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，则f（﹣1）f（1）≤0，

∴ ，解得﹣8≤a≤0

（2）解：当a=3时，f（x）=x2﹣4x+6，

∴f（x）在[5，8]上单调递增，

∴当x=5时，f（x）取得最小值11，当x=8时，f（x）取得最大值38，

∴f（x）在[5，8]上的值域为[11，38]；

又g（x）=x+b在[1，4]上单调递增，∴g（x）在[1，4]上的值域为[1+b，4+b]，

∵若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[5，8]，使得g（x1）=f（x2），

∴[1+b，4+b][11，38]，

∴ ，解得10≤b≤34

【解析】（1）利用零点的存在性定理列不等式组解出；（2）求出f（x）在[5，8]上的值域和g（x）在[1，4]上的值域，根据题意得出两值域的包含关系得出b的范围．
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．