Question

某市为了对学生的数理（数学与物理）学习能力进行分析，从10000名学生中随机抽出100位学生的数理综合学习能力等级分数（6分制）作为样本，分数频数分布如下表：

等级得分	（0，1]	（1，2]	（2，3]	（3，4]	（4，5]	（5，6]
人数	3	17	30	30	17	3

（Ⅰ）如果以能力等级分数大于4分作为良好的标准，从样本中任意抽取2名学生，求恰有1名学生为良好的概率；
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间（1，2]的中点值为1.5）作为代表：
（ⅰ）据此，计算这100名学生数理学习能力等级分数的期望μ及标准差σ（精确到0.1）；
（ⅱ） 若总体服从正态分布，以样本估计总体，估计该市这10000名学生中数理学习能力等级在（1.9，4.1）范围内的人数．
（Ⅲ）从这10000名学生中任意抽取5名同学，他们数学与物理单科学习能力等级分数如下表：

（ⅰ）请画出右上表数据的散点图；
（ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程

y

=bx+a（附参考数据：

129

≈11.4）

Answer 1

分析：（Ⅰ）样本中，学生为良好的人数为20人，本题即为从100人中抽2人，恰有一人成绩良好的概率，属古典概型，事件空间共有C₁₀₀²个基本事件，研究事件在其中占了C₂₀¹•C₂₀¹个
故概率为

C 1 20 × C 1 80

C 2 100

（Ⅱ）（i） 即估计这100个数据的平均数和标准差，先计算等级得分的概率分布列，即加一行频率，再利用期望公式和标准差公式计算即可
（ii）由（i）可知，学生学习能力得分x～N（3，（1.1）²），能力等级在（1.9，4.1）范围内，即X∈（3-1.1，3+1.1），由正态分布的性质，P（μ-σ＜x＜μ+σ）=0.6826，所以数理学习能力等级在（1.9，4.1）范围内的人数为10000×0.6826=6826
（Ⅲ）（i）先建立平面直角坐标系，再将表中数据作为点的坐标描出即可
（ii）求回归直线方程的方法有两种，一种是使用公式，先设出直线方程，再利用公式求出系数a，b，即可，另一种方法就是最小二乘法，通过求函数的最小值得回归直线的系数a，b，一般情况下我们常使用第一种方法，但要知道公式才行

解答：解：（Ⅰ）样本中，学生为良好的人数为20人．故从样本中任意抽取 2名学生，则仅有1名学生为良好的概率为

C 1 20 × C 1 80

C 2 100

=

32

99

（Ⅱ）学生的数理综合学习能力等级分数频率分布如下表：

等级得分	（0，1]	（1，2]	（2，3]	（3，4]	（4，5]	（5，6]
人数	3	17	30	30	17	3
频率	0.03	0.17	0.30	0.3	0.17	0.3

（ⅰ）总体数据的期望约为：μ=0.5×0.03+1.5×0.17+2.5×0.30+3.5×0.30+4.5×0.17+5.5×0.03=3.0
标准差σ=

(0.5-3)2×0.03+(1.5-3)2×0.17+(2.5-3)2×0.3+(3.5-3)2×0.3+

.

(4.5-3)2×0.17+(5.5-3)2×0.03

=

1.29

≈1.1
（ⅱ）由于μ=3，σ≈1.1∴x～N（3，（1.1）²），
∴当x∈（1.9，4.1）时，即x∈（μ-σ，μ+σ ）
故数学学习能力等级分数在（1.9，4.1）范围中的概率0.6826．
∴数学学习能力等级在（1.9，4.1）范围中的学生的人数约为10000×0.6826=6826人．
（Ⅲ）
（ⅰ）数据的散点图如下图：

（ⅱ）设线性回归方程为

y

=bx+a，则
方法一：b=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

=

91-80

90-80

=1.1 a=

.

y

-b

.

x

=4-1.1×4=-0.4
故回归直线方程为y=1.1x-0.4
方法二：f（a，b）=（2b+a-1.5）²+（3b+a-3）²+（4b+a-3.5）²+（5b+a-5）²+（6b+a-6）²=5a²+40a（b-1）+（2b-1.5）²+（3b-3）²+（4a-3.5）²+（5b-5）²+（6b-6）²
∴a=-

40(b-1)

10

=4(1-b)时，
f（a，b）取得最小值10b²-22b+12.5 即，∴b=1.1，a=-0.4 时f（a，b）取得最小值；
所以线性回归方程为y=1.1x-0.4．

点评：本题考察了概率与统计的知识，综合考察了识图能力，用样本估计总体的数字特征，用样本估计总体的分布，用样本研究变量间的不确定关系的方法运用