Question

13．等差数列{a_n}中，首项a₁=15，公差d=-2，数列{|a_n|}的前n项和T_n=$\left\{\begin{array}{l}{16n-{n}^{2}，n≤8}\\{{n}^{2}-16n+128，n＞8}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由题意求出等差数列的通项公式，得到数列{a_n}的前8项大于0，以后的项小于0．然后对n分类求解数列{|a_n|}的前n项和T_n．

解答 解：由a₁=15，d=-2，得a_n=15-2（n-1）=17-2n．
${S}_{n}=15n+\frac{n（n-1）×（-2）}{2}=16n-{n}^{2}$．
由a_n=17-2n≥0，得$n≤\frac{17}{2}$．
∴数列{a_n}的前8项大于0，以后的项小于0．
当n≤8时，数列{|a_n|}的前n项和T_n=${S}_{n}=16n-{n}^{2}$；
当n＞8时，T_n=2S₈-S_n=n²-16n+128．
∴${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{16n-{n}^{2}，n≤8}\\{{n}^{2}-16n+128，n＞8}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{16n-{n}^{2}，n≤8}\\{{n}^{2}-16n+128，n＞8}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．