Question

8．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的一条对称轴是x=$\frac{π}{8}$．
（1）求φ；
（2）若x∈[0，π]，求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由题意可得2×$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，由此求得φ 的值．
（2）由条件利用正弦函数的增区间可得f（x）的增区间，结合x∈[0，π]，进一步确定f（x）的增区间．

解答 解：（1）由函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的一条对称轴是x=$\frac{π}{8}$．
可得2×$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，∴φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈z，又-π＜φ＜0，∴φ=-$\frac{3π}{4}$．
（2）对于函数$f（x）=sin（2x-\frac{3π}{4}）$，令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{3π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，求得 $\frac{5π}{8}+kπ≤x≤\frac{9π}{8}+kπ，k∈Z$，
可得函数的增区间为[kπ+$\frac{5π}{8}$，kπ+$\frac{9π}{8}$]，k∈z．
再根据x∈[0，π]，可得增区间为[$\frac{5π}{8}$，π]、[0，$\frac{π}{8}$]．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性，属于基础题．