Question

21.设函数

（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；

（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于.

Answer 1

解：（Ⅰ），

依题意有，故.

从而.

的定义域为，当时，；

当时，；

当时，.

从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少.

（Ⅱ）的定义域为，.

方程的判别式.

（ⅰ）若，即，在的定义域内，故无极值.

（ⅱ）若，则或.

若，，.

当时，，当时，，所以无极值.

若，，，也无极值.

（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，.

当时，，从而在的定义域内没有零点，故无极值.

当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知在取得极值.

综上，存在极值时，的取值范围为.

的极值之和为

.