Question

4．在平面直角坐标系中，点P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1上的一个动点，则点P到直线x-y+6=0的最大距离为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设P（x，y），由P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1的点，则x=$\sqrt{3}$cosθ，y=sinθ，利用点到直线的距离公式d=$\frac{丨\sqrt{3}cosθ-sinθ+6丨}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$丨$\sqrt{3}$cosθ-sinθ+6丨，利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得P到直线x-y+6=0的最大距离．

解答 解：设P（x，y），由P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1的点，则x=$\sqrt{3}$cosθ，y=sinθ，
点P到直线x-y+6=0的距离d=$\frac{丨\sqrt{3}cosθ-sinθ+6丨}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$丨$\sqrt{3}$cosθ-sinθ+6丨，
由$\sqrt{3}$cosθ-sinθ+6=-2sin（x-$\frac{π}{3}$）+6，由-1≤sin（x-$\frac{π}{3}$）≤1，
∴4≤-2sin（x-$\frac{π}{3}$）+6≤8，则2$\sqrt{2}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$丨$\sqrt{3}$cosθ-sinθ+6丨≤4$\sqrt{2}$，
∴d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$丨$\sqrt{3}$cosθ-sinθ+6丨的最大值为4$\sqrt{2}$，
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的参数方程，点到直线的距离公式，辅助角公式及正弦函数图象及性质，考查计算能力，属于中档题．