Question

已知

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|=1，且

a

与

b

之间有关系式|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，其中k＞0．
（Ⅰ）用k表示

a

•

b

；
（Ⅱ）求

a

•

b

的最小值，并求此时

a

与

b

的夹角θ的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|两边平方，再化简，即可用k表示

a

•

b

；
（Ⅱ）利用基本不等式，可求

a

•

b

的最小值，再利用向量数量积公式，可求

a

与

b

的夹角θ的大小．

解答：解：（Ⅰ）∵|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|
∴|k

a

+

b

|2=3|

a

-k

b

|2，
∴4k

a

•

b

=k2+1，
∴

a

•

b

=

k2+1

4k

…（6分）；
（Ⅱ）

a

•

b

=

k2+1

4k

=

1

4

(k+

1

k

)≥

1

4

•2

k• 1 k

=

1

2

，当且仅当k=1时取“=”
故

a

•

b

的最小值为

1

2

…（10分）
∵

1

2

=

a

•

b

=|

a

||

b

|cos＜

a

，

b

＞=1×1×cos＜

a

，

b

＞，
∴cos＜

a

，

b

＞=

1

2

，
∴＜

a

，

b

＞=60°…（13分）．

点评：本题考查向量模长的计算，考查向量数量积公式，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．