Question

图甲是一个几何体的表面展开图，图乙是棱长为1cm的正方体．
（Ⅰ）若沿图甲中的虚线将四个三角形折叠起来，使点M、N、P、Q重合，则可以围成怎样的几何体？请求出此几何体的体积；
（Ⅱ）需要多少个（I）的几何体才能拼成一个图乙中的正方体？请按图乙中所标字母写出这几个几何体的名称；
（Ⅲ）在图乙中，点E为棱AB上的动点，试判断A₁D与平面C₁D₁E是否垂直，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）围成的是有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，然后根据锥体的体积公式求之即可；
（II）根据体积可知需要3个（I）的几何体才能拼成一个图乙中的正方体，然后列举即可；
（III）先判定A₁D与平面C₁D₁E是否垂直，然后连接AD₁与BC₁，根据AB⊥平面AA₁D₁D，A₁D?平面AA₁D₁D，由线面垂直的判定定理可知AB⊥A₁D，又A₁D⊥AD₁且AD₁∩AB=A，满足线面垂直的判定定理所需条件，即可证得结论．
解答：解：（I）围成的是有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥
其体积是：×1×1×1=cm²
（II）需要3个（I）的几何体才能拼成一个图乙中的正方体，
它们分别是四棱锥C-A₁B₁C₁D₁，C-AA₁B₁B，C-AA₁D₁D
（III）A₁D⊥平面C₁D₁E证明如下：
连接AD₁与BC₁，则平面C₁D₁E即为平面ABC₁D₁．
在正方体中，AB⊥平面AA₁D₁D，A₁D?平面AA₁D₁D
∴AB⊥A₁D
又A₁D⊥AD₁且AD₁∩AB=A
∴A₁D⊥平面ABC₁D₁即A₁D⊥平面C₁D₁E
点评：本题主要考查了几何体的体积的度量，以及线面垂直的判定，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于中档题．