分析 (1)当a=1时,求出导函数,求出极值点,判断函数的单调性,然后求f(x)在[1,4]上的最大值和最小值.
(2)利用导函数是二次函数,判断导函数的最值,讨论a的范围,利用f (x)在($\frac{2}{3}$,+∞)上存在单调递增区间,即可求a的取值范围.
解答 解:(1)f′(x)=-x2+x+2 令f′(x)=0,x=2或x=-1
f′(x)>0解得-1<x<2 f′(x)>0解得 x>2或x<-1
所以f(x)在(2,4),)上单调递减,在(1,2)上单调递增.---------------------(3分)-
所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)=$\frac{10}{3}$..
又f(4)-f(1)=-$\frac{27}{2}$+6<0,即f(4)<f(1),
所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8-$\frac{40}{3}$=-$\frac{16}{3}$.------------------------------(6分)-
(2)由f′(x)=-x2+x+2a=-(x-$\frac{1}{2}$)2+$\frac{1}{4}$+2a,
当x∈($\frac{2}{3}$,+∞)时,f′(x)的最大值为f′($\frac{2}{3}$)=$\frac{2}{9}$+2a,令$\frac{2}{9}$+2a>0,得a>-$\frac{1}{9}$,
所以,当a>-$\frac{1}{9}$时,f(x)在($\frac{2}{3}$,+∞)上存在单调递增区间.------------------------------(12分)-
点评 本题考查函数与导函数的应用,函数的单调性以及函数的最值的应用,考查分类讨论思想以及转化思想的应用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{10}{49}$ | B. | $\frac{12}{49}$ | C. | $\frac{6}{25}$ | D. | $\frac{4}{25}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -6 | B. | 6 | C. | 8 | D. | 不确定 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{8}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{3}{2}$ | D. | $\frac{1}{6}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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