Question

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3bcosA=ccosA+acosC，则tanA的值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据余弦定理，化简可得ccosA+acosC=b，从而将等式3bcosA=ccosA+acosC化简得到cosA=$\frac{1}{3}$＞0，由同角三角函数的平方关系算出sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，再由商数关系即可得到tanA的值．

解答 解：∵△ABC中，由余弦定理得：ccosA+acosC=c×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+a×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=b，
∴根据题意，3bcosA=ccosA+acosC=b，
两边约去b，得3cosA=1，所以cosA=$\frac{1}{3}$＞0，
∴A为锐角，且sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
因此，tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题给出三角形中的边角关系式，求tanA的值．着重考查了余弦定理解三角形、同角三角函数的基本有关系等知识，属于基础题．