Question

【题目】我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）若该市有110万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，请说明理由；
（Ⅲ）若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值（精确到0.01），并说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由概率统计相关知识，各组频率和为1， 即0.5×（0.08+0.16+0.3+a+0.52+0.3+0.12+0.08+0.04）=1，
解得a=0.4；
（Ⅱ）由图知，不低于3吨的人数所占比例为
0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，
∴全市月均用水量不低于3吨的人数为
110×0.12=13.2（万）；
（Ⅲ）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占比例为
0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73，
即73%的居民月均用水量小于2.5吨；
同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故2.5＜x＜3；
假设月均用水量平均分布，则
（吨）
【解析】（Ⅰ）由概率统计相关知识，各组频率和为1，列出方程求出a的值；（Ⅱ）由图计算不低于3吨的频率和频数即可；（Ⅲ）由图计算月均用水量小于2.5吨的频率和月均用水量小于3吨的频率， 假设月均用水量平均分布，由此求出x的值．
【考点精析】本题主要考查了频率分布直方图的相关知识点，需要掌握频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息才能正确解答此题．