Question

如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．
（1）求证：直线EF∥面ACD；
（2）求证：平面EFC⊥面BCD；
（3）若面ABD⊥面BCD，且AD=BD=BC=1，求三棱锥B-ADC的体积．

Answer 1

分析：（1）由已知中，E，F分别是AB，BD的中点，由三角形的中位线定理，我们易得EF∥AD，再由线面平行的判定定理即可得到直线EF∥面ACD；
（2）由已知中CB=CD，F是BD的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得CF⊥BD，又由AD⊥BD，结合线面垂直的判定定理得到BD⊥平面EFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面EFC⊥面BCD；
（3）若面ABD⊥面BCD，且AD⊥BD，根据面面垂直的性质定理可得AD⊥面BCD，再由AD=BD=BC=1，我们计算出三棱锥B-ADC即三棱锥A-BCD的底面积和高，代入棱锥体积公式，即可求出答案．

解答：证明：（1）∵EF是△BAD的中位线
所以EF∥AD（2分）
又EF?平面ACD，AD?平面ACD
∴EF∥平面ACD（4分）
（2）∵EF∥AD，AD⊥BD
∴BD⊥EF，
又∵BD⊥CF∴BD⊥面CEF，
又BD?面BDC
∴面EFC⊥面BCD（10分）
（3）因为面ABD⊥面BCD，且AD⊥BD
所以AD⊥面BCD
由BD=BC=1和CB=CD得△BCD是正三角形
所以S△BCD=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

VB-ACD=VA-BCD=

1

3

S△BCD•AD=

1

3

×

3

4

×1=

3

12

（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积及直线与平面平行的判定，熟练掌握空间线、面垂直及平行的判定定理，并善于利用等腰三角形及勾股定理寻找线线垂直的条件，是解答本题的关键．