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3.已知函数f(x)=ex(e=2.71828…是自然对数的底数),若a<b,则$\frac{f(a)+f(b)}{2}$与$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$的大小关系是(  )
A.$\frac{f(a)+f(b)}{2}$>$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$B.$\frac{f(a)+f(b)}{2}$=$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$C.$\frac{f(a)+f(b)}{2}$<$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$D.无法确定

分析 作差,构造函数g(x)=x+2+(x-2)ex(x>0),利用导数研究其单调性即可比较大小.

解答 解:$\frac{f(a)+f(b)}{2}$-$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$=$\frac{(b-a+2)+(b-a-2{)e}^{b-a}}{2(b-a)}$ea
令g(x)=x+2+(x-2)ex(x>0),则g′(x)=1+(x-1)ex
g′′(x)=xex>0,∴g′(x)在(0,+∞)上单调递增,且g′(0)=0,
∴g′(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,
而g(0)=0,∴在(0,+∞)上,有g(x)>g(0)=0.
∵当x>0时,g(x)=x+2+(x-2)•ex>0,且a<b,
∴$\frac{(b-a+2)+(b-a-2{)e}^{b-a}}{2(b-a)}$ea>0,
即当a<b时,$\frac{f(a)+f(b)}{2}$>$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$,
故选:A.

点评 本题考查了比较两个实数的大小等基础知识,考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法,考查了推理能力和计算能力.

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