Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥BD交于点O，E为线段PC上的点，且AC⊥BE．
（1）求证：AC⊥DE；
（2）若BC∥AD，PA=6，BC=$\frac{1}{2}AD=\sqrt{2}$，AB=CD，求异面直线DE与PA所成的角．

Answer 1

分析 （1）∵AC⊥BD，AC⊥BE，∴AC⊥平面BDE，∴AC⊥DE．
（2）连接OE，则OE⊥AC，AC⊥AP，∴OE∥AP．．∴∠OED（或其补角）就是异面直线ED与PA所成的角．
解△OED即可求异面直线ED与PA所成的角．

解答 解：（1）∵AC⊥BD，AC⊥BE，BD∩BE=E，∴AC⊥平面BDE，∴AC⊥DE．
（2）连接OE，则OE⊥AC，AC⊥AP，∴OE∥AP．∴∠OED（或其补角）就是异面直线ED与PA所成的角．
在等腰梯形ABCD中，计算可得CO=1，OA=2，∴OE=2，又OD=2，且△OED为直角三角形，∴异面直线ED与PA所成的角为45°．

点评 本题考查了线线垂直的判定，异面直线所成的角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．．