Question

已知二次函数y=f（x）图象过点（0，3），它的图象的对称轴为x=2，且y=f（x）的两个零点的差为2，求y=f（x）的解析式．

Answer 1

分析：设出二次函数f（x）的解析式ax²+bx+c （a≠0），由图象过点（0，3）可得c的值；由对称轴为x=2，且y=f（x）的两个零点的差为2，可得a、b的大小．

解答：解：设f（x）=ax²+bx+c （a≠0），
∵f（x）的图象过点（0，3），∴c=3；
又f（x）的对称轴为x=2，∴-

b

2a

=2即b=-4a，
∴f（x）=ax²-4ax+3（a≠0）；
设方程ax²-4ax+3=0（a≠0）的两个实根为 x₁，x₂，且x₁＞x₂，
则依题意：x1+x2=4，x1x2=

3

a

，x1-x2=2，
∴x₁=3，x₂=1，∴

3

a

=x1x2=3；
∴a=1，b=-4；
∴y=f（x）的解析式为f（x）=x²-4x+3．

点评：本题考查了函数解析式的求法以及二次函数的图象与对称轴、函数零点等知识，是基础题．