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    精英家教网如图，已知△ABC的面积为14，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD：DB=BE：EC=2：1，AE与CD交于P．设存在λ和μ使
    AP
    =λ
    AE
    ，
    PD
    =μ
    CD
    ，
    AB
    =
    a
    ，
    BC
    =
    b
    ．
    （1）求λ及μ；
    （2）用
    a
    ，
    b
    表示
    BP
    ；
    （3）求△PAC的面积．
    分析：（1）根据
    AP
    =λ
    AE
    =λ(
    a
    +
    2
    3
    b
    )    ，用基底
    a
    、
    b
     表示出
    AP
    ．再根据
    AP
    =
    AD
    +
    DP
    =
    2
    3
    AB
    +
    DP
    ，
    用基底
    a
    、
    b
     表示出
    AP
    ．这两种表示方式是相同的，由此求出λ及μ．
    （2）把
    BP
    用
    BA
    +
    AP
    来表示，把（1）中的结果代入可得用基底
    a
    、
    b
     表 示的
    BP
    ．
    （3） 根据面积之比等于对应的向量的长度比求出△PAB和△PBC 的面积，用△ABC的面积减去△PAB和△PBC 的面积
    即得△PAC的面积．
    解答：解：（1）由于
    AB
    =
    a
    ，
    BC
    =
    b
    ，则
    AE
    =
    a
    +
    2
    3
    b
    ，
    DC
    =
    1
    3
    a
    +
    b
    ，
    AP
    =λ
    AE
    =λ(
    a
    +
    2
    3
    b
    )    ，
    DP
    =μ
    DC
    =μ(
    1
    3
    a
    +
    b
    )    ，
    AP
    =
    AD
    +
    DP
    =
    2
    3
    AB
    +
    DP
    ，
    2
    3
    a
    +μ(
    1
    3
    a
    +
    b
    )=λ(
    a
    +
    2
    3
    b
    )    ，∴λ=
    2
    3
    +
    1
    3
    μ     ①，
    2
    3
    λ=μ     ②，
    由①②得λ=
    6
    7
    ，μ=
    4
    7

    （2）
    BP
    =
    BA
    +
    AP
    =-
    a
    +
    6
    7
    ×(
    a
    +
    2
    3
    b
    )=-
    1
    7
    a
    +
    4
    7
    b
    ．
    （3）设△ABC，△PAB，△PBC的高分别为h，h1，h2，
    h1：h=|
    PD
    |：|
    CD
    |=μ=
    4
    7
    ，S△PAB=
    4
    7
    S△ABC=8    ，
    h2：h=|
    PE
    |：|
    AE
    |=1-λ=
    1
    7
    ，S△PBC=
    1
    7
    S△ABC=2    ，S△PAC=4．
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    点评：本题考查向量数乘的运算和几何意义，把三角形的面积之比转化为向量的长度比，是解题的难点．
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