Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在BC₁上运动，给出下列四个命题：
①三棱锥A-D₁PC的体积不变；　②DP⊥BC₁；③A₁P∥平面ACD₁； ④平面PDB₁⊥ACD₁；
其中正确的命题个数有

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
分析：①V _A-D1PC=V _C-AD1P，C到面 AD₁P的距离不变，且三角形 AD₁P的面积不变．
②，当P 与B重合时，DP与BC₁；成60°角，不垂直．
③连接A₁B，A₁C₁容易证明平面BA₁C₁∥面ACD₁，从而由线面平行的定义可得；
④连接DB₁，容易证明DB₁⊥面ACD₁ ，从而可以证明面面垂直．
解答：解：对于①，V _A-D1PC=V _C-AD1P，C到面 AD₁P的距离不变，且三角形 AD₁P的面积不变．∴三棱锥A-D₁PC的体积不变； 正确；
②连接DB，DC₁，可知△DBC₁是正三角形，当且仅当P为BC₁中点时，DP⊥BC₁，考虑特殊位置，当P 与B重合时，DP与BC₁成60°角，不垂直．
错误
③连接A₁B，A₁C₁容易证明平面BA₁C₁∥面ACD₁，从而由线面平行的定义可得 A₁P∥平面ACD₁；．正确．
④连接DB₁，根据正方体的性质，有DB₁⊥面ACD₁ ，DB₁?平面PDB₁ 从而可以证明平面PDB₁⊥ACD₁；正确．
正确的命题个数有 3个．
故选C．
点评：本题考查三棱锥体积求法中的等体积法；线面平行、垂直，面面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想，及特殊和一般的思想方法．