Question

已知圆M：（x-）²+y²=r²=r²（r＞0）．若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点为圆M的圆心，离心率为．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若存在直线l：y=kx，使得直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点，点G在线段AB上，且|AG|=|BH|，求圆M半径r的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）设椭圆的焦距为2c，由椭圆右顶点为圆心可得a值，进而由离心率可得c值，根据平方关系可得b值；
（II）由点G在线段AB上，且|AG|=|BH|及对称性知点H不在线段AB上，所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，利用韦达定理及弦长公式可得|AB|，在圆中利用弦心距及勾股定理可得|GH|，根据|AB|=|GH|得r，k的方程，分离出r后按k是否为0进行讨论，借助基本函数的范围即可求得r范围；
解答：解：（I）设椭圆的焦距为2c，
由椭圆右顶点为圆M的圆心（，0），得a=，
又，所以c=1，b=1．
所以椭圆C的方程为：．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直线l与椭圆C交于两点A，B，则，
所以（1+2k²）x²-2=0，则x₁+x₂=0，，
所以=，
点M（，0）到直线l的距离d=，
则|GH|=2，
显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y=kx就是y轴，矛盾，

所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，
所以=4，
==2，
当k=0时，r=，
当k≠0时，＜2（1+）=3，
又显然＞2，所以，
综上，．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的基础知识，要熟练掌握．