Question

若双曲线y²-x²=1与

xy-x-y+1

x2-3x+2

=m有唯一的公共点，则实数m的取值集合中元素的个数为（　　）

A．2

B．4

C．5

D．6

Answer 1

分析：先将方程

xy-x-y+1

x2-3x+2

=m化为：

y-1

x-2

=m（x≠1），它表示经过A（2，1）且斜率为m的直线l（除去x=1的点）如图，设直线x=1与双曲线y²-x²=1的两个交点分别为M，N．数形结合即可找出有唯一的公共点，实数m的取值集合中元素的个数．

解答：解：

xy-x-y+1

x2-3x+2

=m可化为：

y-1

x-2

=m（x≠1），
它表示经过A（2，1）且斜率为m的直线l（除去x=1的点）
如图，
设直线x=1与双曲线y²-x²=1的两个交点分别为M，N．
当直线l经过M或N时，双曲线y²-x²=1与l有唯一的公共点，
另外当直线l平行于双曲线y²-x²=1的渐近线时，也有唯一的公共点，实数m的取值集合中元素的个数为4．
当过这个点的直线与双曲线相切是，还有两个元素，
共有6个元素
故选D．

点评：本小题主要考查双曲线的应用、元素与集合关系的判断、直线的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．