Question

已知正项数列{a_n}满足：a₁=1，且（n+1）a_n+1²=na_n²-a_n+1a_n，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{

1

an

}的前n项积为T_n，求证：当x＞0时，对任意的正整数n都有T_n＞

xn

ex

．

Answer 1

分析：（I）先对（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0进行化简得到 an+1=

-1± 1+4n(n+1)

2(n+1)

an=

n

n+1

an，再由累乘法可得到数列的通项公式是a_n．
（II）根据（I）求出T_n，利用数学归纳法证明即可，证明过程中注意数学归纳法的步骤和导数的灵活应用．

解答：解：（I）∵（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0
∴an+1=

-1± 1+4n(n+1)

2(n+1)

an=

n

n+1

an（另解-a_n不合题意舍去），
∴

a2

a1

•

a3

a2

an

an-1

=

1

2

，
即

an

a1

=

1

n

，an=

1

n

，n∈N+，
（II）由（I）得：T_n=n!，
当x＞0时，T_n＞

xn

ex

等价于xⁿ＜n!e^x  ①
以下用数学归纳法证明：
①当n=1时，要证x＜e^x，令g（x）=e^x-x，
则g′（x）=e^x-1＞0，
∴g（x）＞g（0）=1＞0，即x＜e^x 成立；
②假设当n=k时，①式成立，即x^k＜k!e^x，那么当n=k+1时，
要证x^k+1＜（k+1）!e^x也成立，
令h（x）=（k+1）!e^x-x^k+1，则h′（x）=（k+1）!e^x-（（k+1）x^k
=（k+1）（k!e^x-x^k），
由归纳假设得：h′（x）＞0，
∴h（x）＞h（0）=（k+1）!＞0，
即x^k+1＜（k+1）!e^x也成立，
由①②即数学归纳法原理得原命题成立．

点评：本题主要考查数列递推关系式的应用和累乘法．求数列通项公式的一般方法--公式法、累加法、累乘法、构造法等要熟练掌握，属中档题．