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    已知等比数列{an}的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{bn}满足2n2-（t+bn）n+
    32
    bn=0（t∈R，n∈N*）．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）试确定t的值，使得数列{bn}为等差数列；
    （3）当{bn}为等差数列时，对任意正整数k，在ak与ak+1之间插入2共bk个，得到一个新数列{cn}．设Tn是数列{cn}的前n项和，试求满足Tn=2cm+1的所有正整数m的值．
    分析：（1）由3a3是8a1与a5的等差中项得到6a3=8a1+a5，根据首项2和公比q，利用等比数列的通项公式化简这个式子即可求出q的值，利用首项和公比即可得到通项公式；
    （2）由2n2-（t+bn）n+
    3
    2
    bn=0解出bn，列举出b1，b2和b3，要使数列{bn}为等差数列，根据等差数列的性质可知b1+b3=2b2，把b1，b2和b3的值代入即可求出t的值；
    （3）显然c1=c2=c3=2，容易判断m=1时不合题意，m=2适合题意，当m大于等于3时，得到cm+1必是数列{an}中的某一项ak+1，然后根据Tn=2cm+1列举出各项，利用等差、等比数列的求和公式化简后得到2k=k2+k-1，把k=1，2，3，4，代入等式得到不是等式的解，利用数学归纳法证明得到k大于等于5时方程没有正整数解，所以得到满足题意的m仅有一个解m=2．
    解答：解：（1）因为6a3=8a1+a5，所以6q2=8+q4，
    解得q2=4或q2=2（舍），则q=2
    又a1=2，所以an=2n
    （2）由2n2-（t+bn）n+
    3
    2
    bn=0，得bn=
    2n2-tn
    n-
    3
    2
    ，
    所以b1=2t-4，b2=16-4t，b3=12-2t，
    则由b1+b3=2b2，得t=3
    而当t=3时，bn=2n，由bn+1-bn=2（常数）知此时数列{bn}为等差数列；
    （3）因为c1=c2=c3=2，易知m=1不合题意，m=2适合题意
    当m≥3时，若后添入的数2等于cm+1个，则一定不适合题意，
    从而cm+1必是数列{an}中的某一项ak+1，
    则（2+22+23+…+2k）+2（b1+b2+b3+…+bk）=2×2k+1，
    即2×(2k-1)+
    (2+2k)k
    2
    ×2=2×2k+1    ，即2k+1-2k2-2k+2=0．
    也就是2k=k2+k-1，
    易证k=1，2，3，4不是该方程的解，而当n≥5时，2n＞n2+n-1成立，证明如下：
    1°当n=5时，25=32，k2+k-1=29，左边＞右边成立；
    2°假设n=k时，2k＞k2+k-1成立，
    当n=k+1时，2k+1＞2k2+2k-2=（k+1）2+（k+1）-1+k2-k-3
    ≥（k+1）2+（k+1）-1+5k-k-3=（k+1）2+（k+1）-1+k+3（k-1）＞（k+1）2+（k+1）-1
    这就是说，当n=k+1时，结论成立．
    由1°，2°可知，2n＞n2+n-1（n≥5）时恒成立，故2k=k2+k-1无正整数解．
    综上可知，满足题意的正整数仅有m=2．
    点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，灵活运用数列解决实际问题，以及会利用数学归纳法进行证明，是一道比较难的题．
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    1bnbn+1
    }的前n项和Sn．

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    3
    3
    ．

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    12
    ，则n=
    9
    9
    ．

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