Question

3．如图，四棱锥P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，△PCD是等边三角形，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，BC⊥CD，AD=2BC=2$\sqrt{2}$．
（1）若AB⊥PB，求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）在（1）的条件下，求二面角P-AB-D的大小．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥平面PCD，推出BC⊥PC，AD⊥PD，设等边△PCD的边长为x，利用Rt△PBC中，求出PB，Rt△PAD中，求出PA，利用PA²=AB²+PB²，求出x=2，作PE⊥CD，垂足为E，连接AE，说明PE⊥平面ABCD，然后求解几何体的体积．
（2）以D为原点，$\overrightarrow{DA}$的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，求出平面PAB的一个法向量，平面ABCD的一个法向量利用向量的数量积求解二面角P-AB-D的大小．

解答 解：（1）∵平面PCD⊥平面ABCD，
平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊥CD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面PCD，
又PC?平面PCD，
∴BC⊥PC，
同理AD⊥PD，…（2分）
设等边△PCD的边长为x，
则Rt△PBC中，$P{B^2}=P{C^2}+B{C^2}={x^2}+{（\sqrt{2}）^2}={x^2}+2$，
Rt△PAD中，$P{A^2}=P{D^2}+A{D^2}={x^2}+{（2\sqrt{2}）^2}={x^2}+8$，
直角梯形ABCD中，$A{B^2}=C{D^2}+{（AD-BC）^2}={x^2}+{（\sqrt{2}）^2}={x^2}+2$，
∵AB⊥PB，∴PA²=AB²+PB²，
∴x²+8=（x²+2）+（x²+2）解得x=2，…（4分）
作PE⊥CD，垂足为E，连接AE，
∵△PCD是等边三角形，∴$PE=\sqrt{3}$，且E为CD中点，
由平面PCD⊥平面ABCD，同理可得PE⊥平面ABCD，
∴${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}•PE•{S_{ABCD}}=\frac{1}{3}•\sqrt{3}•\frac{1}{2}（\sqrt{2}+2\sqrt{2}）•2=\sqrt{6}$，…（6分）
（2）如图，以D为原点，$\overrightarrow{DA}$的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，则$A（2\sqrt{2}，0，0），B（\sqrt{2}，2，0），P（0，1，\sqrt{3}）$，设平面PAB的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0\end{array}\right.$
∴$\left\{{\begin{array}{l}{2\sqrt{2}x-y-\sqrt{3}z=0}\\{-\sqrt{2}x+2y=0}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}y}\\{z=\sqrt{3}y}\end{array}}\right.$
令y=1，得$\overrightarrow{n}$=$（\sqrt{2}，1，\sqrt{3}）$…（8分）
又平面ABCD的一个法向量$\overrightarrow{m}=（0，0，0）$，
∴cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$…（10分）
结合图形可知，二面角P-AB-D的大小为$\frac{π}{4}$，…（12分）

点评 本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直，平面与平面垂直的应用，二面角的大小的求法，考查空间想象能力以及计算能力．