【题目】先阅读下列题目的证法,再解决后面的问题.
已知a1,a2∈R,且a1+a2=1,求证:a+a≥.
证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,则f(x)=2x2-2(a1+a2)x+a+a=2x2-2x+a+a.
因为对一切x∈R,恒有f(x)≥0,
所以Δ=4-8(a+a)≤0,从而得a+a≥.
(1)若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,请由上述结论写出关于a1,a2,…,an的推广式;
(2)参考上述证法,请对你推广的结论加以证明.
【答案】(1)若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,则a+a+…+a≥;(2)见解析.
【解析】
分析:(1)由已知中,求证及整个式子的证明过程,我们根据归纳推理可以得到一个一般性公式,若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,则;
(2)观察已知中的证明过程,我们可以类比对此公式进行证明.
详解:(1)解 若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,
则.
(2)证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2.
即f(x)=nx2-2(a1+a2+…+an)x+a+a+…+a
=nx2-2x+a+a+…+a,
因为对一切x∈R,恒有f(x)≥0,
所以Δ=4-4n(a+a+…+a)≤0,
从而得.
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【题目】如图,在中,,斜边可以通过以直线为轴旋转得到,且二面角是直二面角,动点在斜边上.
(1)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的正切值;
(2)求CD与平面AOB所成角的正切值的最大值.
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【题目】已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,对于x∈R,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,当x1 , x2∈[0,2]且x1≠x2时,都有 <0,给出下列四个命题:
①f(﹣2)=0;
②直线x=﹣4是函数y=f(x)的图象的一条对称轴;
③函数y=f(x)在[4,6]上为增函数;
④函数y=f(x)在(﹣8,6]上有四个零点.
其中所有正确命题的序号为 .
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【题目】已知函数f(x)=kx3+3(k﹣1)x2﹣k2+1在x=0,x=4处取得极值.
(1)求常数k的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值;
(3)设g(x)=f(x)+c,且x∈[﹣1,2],g(x)≥2c+1恒成立,求c的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=﹣x2+bln(x+1)在[0,+∞)上单调递减,则b的取值范围( )
A.[0,+∞)
B.[﹣ ,+∞)
C.(﹣∞,0]
D.(﹣∞,﹣ ]
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