Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为非零向量，且|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|．
（1）求证：$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，求$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ．

Answer 1

分析 （1）把|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|两边平方后整理，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，从而得到$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$；
（2）由题意画出图形，数形结合得答案．

解答 （1）证明：∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}$，即$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}=（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}$，
展开得：$（\overrightarrow{a}）^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+（\overrightarrow{b}）^{2}=（\overrightarrow{a}）^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+（\overrightarrow{b}）^{2}$，
则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$；
（2）解：如图，
 
设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{b}$，
∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，∴|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|，
又$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则$∠OBA=\frac{π}{4}$，
∴$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ=$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积与向量垂直间的关系，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．