Question

17．已知抛物线y²=8x，直线l：x=-2，点A（1，3），若抛物线上一点P到l的距离为d，则|AP|+d的最小值为（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{10}$
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 过P作PB垂直于直线x=-2，垂足为B，根据抛物线的定义得：|PA|+d=|PA|+|PB|=|PA|+|PF|．利用三角形两边之和大于第三边，可得当且仅当P、A、F三点共线时，|PA|+d达到最小值，因此可用两点的距离公式求出|PA|+d的最小值．

解答 解：过P作PB垂直于直线x=-2，垂足为B．
∵抛物线方程为y²=8x，
∴2p=8，得$\frac{p}{2}$=2，可得焦点F（2，0），且直线x=-2是抛物线的准线，
因此，|PA|+d=|PA|+|PB|=|PA|+|PF|
∵|PA|+|PF|≥|AF|
∴当且仅当P、A、F三点共线时，|PA|+|PF|达到最小值
因此，|PA|+d的最小值为|AF|=$\sqrt{（1-2）^{2}+（3-0）^{2}}$=$\sqrt{10}$
故选：B．

点评 本题给出定点A和抛物线上动点P，求P到A点与P到抛物线准线距离之和的最小值，着重考查了抛物线的几何性质和两点之间的距离公式等知识，属于中档题．