Question

已知圆M：2x²+2y²-8x-8y-1=0，直线l：x+y-9=0，过l上一点A作△ABC，使得∠BAC=45°，边AB过圆心M，且B，C在圆M上，求点A纵坐标的取值范围．

Answer 1

分析：先对圆的方程进行配方，求出圆心坐标和半径，由点A在直线l上设出点A的坐标，由题意判断出直线AC与圆M的位置关系，利用几何法列出不等式，由条件和两点之间的距离公式，将点A的坐标代入化简再求出纵坐标的范围．

解答：解：由2x²+2y²-8x-8y-1=0得，圆的标准方程：（x-2）²+（y-2）²=

17

2

，
∴圆心M（2，2），半径r=

34

2

，
∵直线l：x+y-9=0，∴设A（9-a，a），
∵B，C在圆M上，
∴直线AC和圆M相交或相切，
∴圆心M到AC的距离d≤r，
∵∠BAC=45°，
∴d=

2

2

|AM|，
因此

2

2

|AM|≤r，
即

2

2

•

(7-a)2+(a-2)2

≤

34

2

，
化简得，a²-9a+18≤0，解得3≤a≤6，
故点A的纵坐标的取值范围是[3，6]．

点评：本题考查了几何法在直线与圆位置关系中的应用，两点之间的距离公式，以及二次不等式的解法，关键是对条件的分析和相应的转化．