Question

在平面直角坐标系中，直线L：y=mx+3-4m，m∈R恒过一定点，且与以原点为圆心的圆C恒有公共点．
（1）求出直线L恒过的定点坐标；
（2）当圆C的面积最小时，求圆C的方程；
（3）已知定点Q（-4，3），直线L与（2）中的圆C交于M、N两点，试问

QM

•

QN

•tan∠MQN是否存在最大值，若存在则求出该最大值，并求出此时直线L的方程，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直线L：y=mx+3-4m可化简为y=m（x-4）+3，由此知直线恒过定点T（4，3）．
（2）由题意，要使圆C的面积最小，定点T（4，3）在圆上，由此能求出圆C的方程．
（3）

QM

•

QN

•tan∠MQN=|

QM

||

QN

|•cos∠MQN•tan∠MQN=|

QM

|•|

QN

|•sin∠MQN=2S_△MQN．由此能够导出

QM

•

QN

×tan∠MQN的最大值和此时直线L的方程．

解答：解：（1）直线L：y=mx+3-4m可化简为y=m（x-4）+3（2分）
所以直线恒过定点T（4，3）（4分）
（2）由题意，要使圆C的面积最小，定点T（4，3）在圆上，
所以圆C的方程为x²+y²=25．（8分）
（3）

QM

•

QN

•tan∠MQN
=|

QM

||

QN

|•cos∠MQN•tan∠MQN
=|

QM

|•|

QN

|•sin∠MQN=2S_△MQN（10分）
由题意得直线L与圆C的一个交点为M（4，3），又知定点Q（-4，3），
直线L_MQ：y=3，|MQ|=8，则当N（0，-5）时S_MQN有最大值32．
即

QM

•

QN

×tan∠MQN有最大值为64，（13分）
此时直线L的方程为2x-y-5=0．（14分）

点评：本题考查直线和圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地选用公式．