Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{-1}{x}}&{\stackrel{x≤-1}{-1＜x＜-1}}\\{1}&{x≥1}\end{array}\right.$，函数g（x）=ax²+$\frac{1}{4}$．若函数y=f（x）-g（x）恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （-∞，0）∪（2，+∞）
• C． （-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞）
• D． （-∞，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 化函数y=f（x）-g（x）恰好有2个不同零点为函数f（x）-$\frac{1}{4}$与函数y=ax²的图象有两个不同的交点，从而解得答案．

解答 解：若函数y=f（x）-g（x）恰好有2个不同零点，
则函数f（x）-$\frac{1}{4}$与函数y=ax²的图象有两个不同的交点，
在同一坐标系中做出函数f（x）-$\frac{1}{4}$与函数y=ax²的图象如下图所示：

由图可得：当a＜0时，两个函数图象恒有两个交点，
当a＞0时，y=ax²与y=x-$\frac{1}{4}$相切时，a=2，
故当a＞2时，两个函数图象恒有两个交点，
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0）∪（2，+∞），
故选：B．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用，难度中档．