Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），离心率为

1

2

，过椭圆E内一点P（1，1）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足

AP

=λ

PC

，

BP

=λ

PD

，其中λ为正常数．
（1）当点C恰为椭圆的右顶点时，对应的λ=

5

7

，求椭圆的方程．
（2）当λ变化时，k_AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由离心率，得到ac关系，通过A坐标代入到椭圆方程中，能求出a，b，求出椭圆方程．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由

AP

=λ

PC

，

BP

=λ

PD

，推出坐标关系，将AB坐标代入椭圆方程推出b2(x1+x2)+a2(y1+y2)kAB=0，通过k_AB=k_CD，导出k_AB=0，说明kAB=-

b2

a2

为定值．

解答： 解：（1）因为椭圆的离心率为

1

2

，所以b2=

3

4

a2，…（2分）
因为C（a，0），λ=

5

7

，所以

AP

=λ

PC

，得A(

12-5a

7

，

12

7

)，
将它代入到椭圆方程中，得

(12-5a)2

49a2

+

122

49× 3 4 a2

=1，解得a=2，…（4分）
∴b=

3

，所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由

AP

=λ

PC

，得

x1+λx3=1+λ y1+λy3=1+λ

，同理

BP

=λ

PD

，可得

x2+λx4=1+λ y2+λy4=1+λ

，…（8分）
将A、B坐标代入椭圆方程得

b2 x 2 1 +a2 y 2 1 =a2b2 b2 x 2 2 +a2 y 2 2 =a2b2

，两式相减得
b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0，
即b2(x1+x2)+a2(y1+y2)kAB=0①…（10分）
同理，b2(x3+x4)+a2(y3+y4)kCD=0，
而k_AB=k_CD，所以b2(x3+x4)+a2(y3+y4)kAB=0，
所以b2λ(x3+x4)+a2λ(y3+y4)kAB=0②
①+②得b2(x1+λx3+x2+λx4)+a2(y1+λy3+y2+λy4)kAB=0，
即k_AB=0，所以kAB=-

b2

a2

为定值．…（12分）

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．