Question

在自然条件下，某草原上野兔第n年年初的数量记为x_n,该年的增长量y_n和 x_n与的乘积成正比，比例系数为，其中m是与n无关的常数，且x₁<m，
(1)证明：;
(2)用 x_n表示x_n+1;并证明草原上的野兔总数量恒小于m.

Answer 1

（1）详见解析；（2），证明用数学归纳法，过程详见解析．

试题分析：（1）由已知可得y_n是x_n的一个二次函数，利用配方法，注意到就可证明；（2）由已知有该年的增长量，所以第n+1年年初的的数量x_n+1=x_n+y_n,代入即可用 x_n表示x_n+1；证明草原上的野兔总数量恒小于m，即证对一切非零自然数n，都有x_n<m,可考虑用数学归纳法来证明：当n=1时显然成立；再假设当时，命题成立，则对n=k+1时，由于是x_k的一个二次函数，结合二次函数的性质，可证成立，从而有对一切正整数n，，即是草原上的野兔总数量恒小于m.
试题解析：（1）由题意知 ，配方得： ∵∴当且仅当时，取得最大值，即                                  （5分）
（2）                                                    （8分）
用数列归纳法证明：
当n=1时，由题意知，故命题成立
假设当时，命题成立
是x_k的一个二次函数，有对称轴，开口向下，由，则，于是在上均有=m
取，即知，∴当时，命题成立，综上知，对一切正整数n，这就是说该草原上的野兔数量不可能无限增长                                  （13分）