Question

【题目】已知函数 ，把方程f（x）=x的根按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（ ）
A. （n∈N*）
B.an=n（n﹣1）（n∈N*）
C.an=n﹣1（n∈N*）
D.an=2n﹣2（n∈N*）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：若0＜x≤1，则﹣1＜x﹣1＜0，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1 ， 若1＜x≤2，则0＜x﹣1≤1，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1
若2＜x≤3，则1＜x﹣1≤2，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2
若3＜x≤4，则2＜x﹣1＜3，得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3
以此类推，若n＜x≤n+1（其中n∈N），则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，
下面分析函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点
很显然，它们有两个交点（0，1）和（1，2），
由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．
然后①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，
取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．
即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．
②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，
即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，显然，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．
即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．
③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，
即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，显然，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．
即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．
④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．
即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．
综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为
0，1，2，3，4，…
其通项公式为an=n﹣1；
故选C．
【考点精析】本题主要考查了数列的通项公式的相关知识点，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．