Question

12．如图，在正方形ABCD-A′B′C′D′，AB=1，
（1）求异面直线AD′与DC′所成的角；
（2）求证：A′B∥平面ACD′；
（3）求V_A-CDD′．

Answer 1

分析 （1）连接BC′，则BC′∥AD′，∠BC′D是异面直线AD′与DC′所成的角；
（2）证明四边形A′BCD′为平行四边形．推出A′B∥CD’，然后证明A′B∥平面ACD′，
（3）直接利用体积公式，即可得出结论．

解答 （1）解：连接BC′，则BC′∥AD′，
∴∠BC′D是异面直线AD′与DC′所成的角，
∵BD=DC′=C′B，
∴∠BC′D=60°，
∴异面直线AD′与DC′所成的角为60°；
（2）证明：∵A′D∥′BC，且A′D=B′C
∴四边形A′BCD′为平行四边形．
∴A′B∥CD′，
又∵A′B?平面ACD′，CD′?平面ACD′
∴A′B∥平面ACD′；
（3）解：V_A-CDD′=$\frac{1}{3}$S_△CDD′•AD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查直线与平面平行，异面直线AD′与DC′所成的角，三棱锥体积的计算，考查空间想象能力，逻辑推理能力．