Question

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*），其中a，c为实数，且c≠0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设a=

1

2

，c=

1

2

，bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）整理a_n+1=ca_n+1-c得a_n+1-1=c（a_n-1），进而判断出当a₁=a≠1时，{a_n-1}是首项为a-1，公比为c的等比数列，进而根据等比数列的性质求得其通项公式，当a=1时，也成立，进而可得答案．
（2）根据（1）中的a_n，求得b_n，进而根据错位相减法求得数列的前n项的和．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=ca_n+1-c，a_n+1-1=c（a_n-1），
∴当a₁=a≠1时，{a_n-1}是首项为a-1，公比为c的等比数列
∴a_n-1=（a-1）c^n-1
当a=1时，a_n=1仍满足上式．
∴数列{a_n-1}的通项公式为a_n=（a-1）c^n-1+1（n∈N^*）；
（Ⅱ）由（1）得，当a=

1

2

，c=

1

2

时，
bn=n(1-an)=n{1-[1-(

1

2

)n]}=n(

1

2

)n．
∴Sn=b1+b2++bn=

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3++n×(

1

2

)n．

1

2

Sn=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3++n×(

1

2

)n+1．
两式作差得

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2++(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1．
Sn=1+

1

2

+(

1

2

)2++(

1

2

)n-1-n×(

1

2

)n
=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n×(

1

2

)n=2×(1-

1

2n

)-

n

2n

．
∴Sn=2-

n+2

2n

．

点评：本题主要考查了数列的递推式，等比数列的通项公式和用错位相减法求和．考查了学生综合分析问题的能力．