Question

如图，长方形ABCD的长AD=2x，宽AB=x（x≥1），线段MN的长度为1，端点M、N在长方形ABCD的四边上滑动，当M、N沿长方形的四边滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G的周长与G围成的面积数值的差为y，则函数y=f（x）的图象大致为（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

分析：根据条件确定点P，对应的轨迹，然后求出相应的周长和面积，求出函数f（x）的表达式，然后根据函数表达式进行判断图象即可．

解答：解：∵线段MN的长度为1，线段MN的中点P，
∴AP=

1

2

MN=

1

2

，
即P的轨迹是分别以A，B，C，D为圆心，半径为

1

2

的4个

1

4

圆，以及线段GH，FE，RT，LK，部分．
∴G的周长等于四个圆弧长加上线段GH，FE，RT，LK的长，
即周长=2π×

1

2

+2(2x-

1

2

-

1

2

)+2(x-

1

2

-

1

2

)=π+4x-2+2x-2=6x+π-4，
面积为矩形的面积减去4个

1

4

圆的面积，即等于矩形的面积减去一个整圆的面积
为2x•x-π×(

1

2

)2=2x2-

π

4

，
∴f（x）=6x+π-4-(2x2-

π

4

)=-2x2+6x+

5π

4

-4，是一个开口向下的抛物线，
∴对应的图象为C，
故选：C．

点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件确定点P的轨迹是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．