Question

已知A={x||x-a|≥4}，B={x|x²-4x+3＜0}，p是A中x满足的条件，q是B中x满足的条件．
（1）求￢p中x满足的条件．
（2）若￢p是q的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）解绝对值不等式求得A，解一元二次不等式求得B，则

.

A

=C即为所求．
（2）若￢p是q的必要条件，则B⊆C，故有

a-4≤1 a+4≥3

，由此解得实数a的取值范围．

解答：解：（1）由于已知A={x||x-a|≥4}={x|x-a≥4，或 x-a≤-4}={x|x≥a+4，或 x≤a-4}，
B={x|x²-4x+3＜0}={x|（x-1）（x-3）＜0}={x|1＜x＜3}，
p是A中x满足的条件，q是B中x满足的条件，
∴￢p中x满足的条件是 C={x|a-4＜x＜a+4}．
（2）若￢p是q的必要条件，则B⊆C，
∴

a-4≤1 a+4≥3

，解得-1≤a≤5，即实数a的取值范围为[-1，5]．

点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，绝对值不等式、一元二次不等式的解法，属于中档题．