Question

19．在数列{a_n]中a₁=1，a_n+1=2a_n-n+2，n∈N^*．记b_n=a_n-n+1．
（Ⅰ）计算b₁，b₂，b₃，b₄，并写出数列{b_n}的通项b_n（不需要说明理由）；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，求数列{a_n}的通项a_n及前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a₁=1、a_n+1=2a_n-n+2，可得a₂、a₃、a₄的值，再代入b_n=a_n-n+1中，计算即得结论；
（Ⅱ）通过b_n=2^n-1、b_n=a_n-n+1可知a_n=n-1+2^n-1，进而S_n=[0+1+2+…+（n-1）]+（2⁰+2¹+…+2^n-1），计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=2a_n-n+2，n∈N^*．
∴a₂=2a₁-1+2=2-1+2=3，
a₃=2a₂-2+2=6-2+2=6，
a₄=2a₃-3+2=12-3+2=11，
∵b_n=a_n-n+1，
∴b₁=a₁-1+1=1-1+1=1，
b₂=a₂-2+1=3-2+1=2，
b₃=a₃-3+1=6-3+1=4，
b₄=a₄-4+1=11-4+1=8，
∴数列{b_n}是以1为首项、2为公比的等比数列，
∴b_n=2^n-1；
（Ⅱ）∵b_n=2^n-1，b_n=a_n-n+1，
∴a_n=n-1+b_n=n-1+2^n-1，
∴S_n=0+2⁰+1+2¹+2+2²+…+（n-1）+2^n-1
=[0+1+2+…+（n-1）]+（2⁰+2¹+…+2^n-1）
=$\frac{n（n-1）}{2}$+$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$
=$\frac{n（n-1）}{2}$+2ⁿ-1．

点评 本题考查求数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．